Laboratoire Lettres, Langages et Arts (EA 4152)
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Soutenance de thèse de Gilles BAROIN

le 5 décembre 2011
à 14h

Applications de la théorie des graphes à des objets musicaux. 
Modélisations, visualisations en hyperespace

Version anglaise [PDF - 60 Ko]

Résumé :
 
À la frontière entre musique et mathématiques, cette étude présente un espace musical géométrique original utilisé pour l’analyse et la pédagogie.
En utilisant différentes méthodes, les mathématiciens et théoriciens de la musique ont démontré que notre espace des hauteurs tempéré à douze notes peut être considéré comme une combinaison de tierces mineures et majeures. Nous utilisons le produit cartésien de deux graphes circulaires C3 ☐ C4 pour construire le graphe Planet qui répond à ce concept. Comme la décomposition implique deux ensembles et que chaque classe de hauteur est la combinaison unique de ces deux sous-groupes, nous utilisons une coloration en termes de graphes par des nombres complexes et introduisons le concept d’idéogrammes à deux dimensions. Nous effectuons une analyse spectrale du graphe Planet pour déterminer ses espaces propres et obtenir des coordonnées géométriques. Le modèle qui en résulte est appelé Planet-4D, il offre à chaque symbole une position physiquement équivalente. Il comporte plus de symétries que tout modèle discret 3D. A partir de ce modèle, nous construisons une représentation en quatre dimensions où les accords parfaits se trouvent en surface d’une hypersphère. Nous étendons enfin le concept principal pour afficher n’importe quel agrégat de notes sur l’hypersphère dans un cadre atonal. Dans une seconde partie, nous modélisons sous forme de graphes des objets musicaux existants : claviers, réseaux de notes (Tonnetze) ou d’accords ainsi que des schémas de modulation. Nous appliquons des projections spectrales afin de visualiser les symétries inhérentes à ces objets et terminons par des études d’œuvres tonales et atonales, effectuées avec le système de visualisation inventé.


Mots clés :  symétrie, mathématiques, musique, hypersphère, espace des hauteurs, espace d’accords, Tonnetz, projection spectrale, théorie des graphes, idéogrammes, infographie, animation, quaternions, Planet-4D, musicologie computationnelle, mathémusical, Set Theory.

Jury :
  • Louis FERRÉ, Professeur de Mathématiques, Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT)
  • Jean-Michel COURT, Maitre de Conférences en Musicologie, (LLA Créatis, Université de Toulouse 2)
  • Moreno ANDREATTA, Chercheur en Musicologie Computationnelle, HDR Mathématiques, Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique (CNRS, Ircam - Paris)
  • Arnaud PÊCHER, Professeur en Informatique et Mathématiques,
    Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique (LaBRI)
  • Emmanuel AMIOT, Agrégé de Mathématiques, Docteur en Sciences de l’Informatique, Classes Préparatoires aux Grandes Écoles (CPGE), Perpignan
  • Sylviane R. SCHWER, Professeur de Mathématiques discrètes & Linguistique, Laboratoire d’Informatique de Paris Nord




Lieu(x) :
Département de musique, Salle 202

 

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